复利怎么算？公式、手算步骤和带定投的完整验算

情形一：单笔本金的手算四步

例：本金 20,000 美元，年回报 6%，15 年后值多少。第一步写公式：FV = 20,000 × 1.06^15。第二步算幂：1.06^15 可以拆开算——1.06^5 ≈ 1.3382，1.06^10 ≈ 1.7908（即 1.3382×1.3382)，1.06^15 = 1.7908 × 1.3382 ≈ 2.3966。第三步乘本金：20,000 × 2.3966 ≈ 47,931 美元。第四步验算：用 72 法则，6% 翻倍约 12 年，15 年略多于一个翻倍周期加三年增长，终值应略高于 2.4 倍本金，47,931 ÷ 20,000 ≈ 2.40，自洽。

没有计算器时，记住几个常用幂值能估八九成：1.05^10 ≈ 1.629，1.07^10 ≈ 1.967，1.08^10 ≈ 2.159，1.10^10 ≈ 2.594。任何年数的幂都可以拆成 10 年块 + 余数相乘，比如 1.07^23 = 1.07^10 × 1.07^10 × 1.07^3 ≈ 1.967 × 1.967 × 1.225 ≈ 4.74。

情形二：带定投的年金公式

每月定投用的是年金终值公式：FV = PMT × [((1+r)^n − 1) ÷ r]，其中 r 是每期利率（月投就用月利率），n 是总期数，PMT 是每期金额。例：每月 500 美元、年回报 7%（月利率 0.07÷12 ≈ 0.5833%)、20 年共 240 期：(1.005833)^240 ≈ 4.0387，代入得 500 × [(4.0387−1) ÷ 0.005833] ≈ 500 × 520.9 ≈ 260,463 美元。

已有本金又叠加定投时，两块分开算再相加：终值 = 本金×(1+r)^n + 定投年金部分。比如起始 10,000 美元加每月 300、7%、20 年：本金部分约 38,697，年金部分约 156,278，合计约 194,975 美元。这正是 compound-interest 在后台做的事：把四项输入对应到公式的四个变量。自己手算一遍再和计算器对，数字对上，你对工具的信任才有根基。

情形三：倒推利率和年限

已知起点和终点求回报率：r = (FV÷PV)^(1÷n) − 1。例：一笔投资 8 年从 30,000 涨到 52,000，(52,000÷30,000)^(1÷8) − 1 ≈ 7.11%，这就是年化复合增长率（CAGR）——评估任何理财产品历史表现，先算这个数再听故事。注意它只看头尾、不看路径，两只产品 CAGR 相同，波动可以天差地别。

求年限：n = ln(FV÷PV) ÷ ln(1+r)。例：想让 50,000 美元在 7% 下变 100,000,n = ln2 ÷ ln1.07 ≈ 0.693 ÷ 0.0677 ≈ 10.24 年，和 72 法则的 72÷7 ≈ 10.3 年互相印证。倒推时最常见的错误是拿算术平均涨幅充当复合回报：某产品「三年涨 60%」，年化不是 20%，而是 1.6^(1/3)−1 ≈ 17%。

验算习惯：三招识破宣传数字

第一招，量级检验：任何「X 年翻 Y 倍」的说法，先用 72 法则算要求的年化回报，超过 12% 的长期承诺直接打问号，超过 20% 的可以转身走人。第二招，拆穿平均：对方报「平均年回报」时，问清是算术平均还是几何平均——涨 50%、跌 30% 的两年，算术平均 +10%，实际复合是 (1.5×0.7)^(1/2)−1 ≈ +2.5%。第三招，统一口径：把对方的月利率、日利率、季度收益全部换算成年化再比较（方法见本站 APY 一文）。

最后提醒：公式算的是「假设恒定回报」的世界，真实世界里回报有波动、有税、有费。手算的意义不是精确预测未来，而是建立数量级直觉——当你能在十秒内估出任何复利说法的量级，市面上九成的话术就自动失效了。

常见问题

月复利时，公式里的 r 和 n 怎么填？

r 用月利率 = 年利率÷12，n 用总月数。比如年利率 6%、10 年按月复利：FV = PV×(1+0.06/12)^120。频率越细终值略高，但差别有限。

手机计算器怎么算 (1.07)^30 这种幂？

科学计算器有 x^y 键；iPhone 计算器横屏即是科学模式。也可拆乘：1.07^30 = (1.07^10)^3 ≈ 1.967^3 ≈ 7.61，再乘本金即可。

定投公式里月初投和月末投差多少？

月初投每笔多滚一期，终值 = 月末投公式 ×(1+r)。以每月 500、7%、20 年计，差约 1,500 美元量级。公式默认月末投，月初投记得乘上这个系数。

为什么计算器算的和银行实际利息对不上？

常见原因：银行按实际天数（ACT/365 或 ACT/360）计息、中途利率浮动、利息入账日与结息日错位。小额差异属正常；差异大时先核对输入的是名义利率还是 APY。

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官方来源与适用范围

本文为中文整理的生活指南，数字为估算或区间，具体以官方最新公布为准。

• Wikipedia – Compound Interest
• Investor.gov – Compound Interest Calculator